三角函数宝典

2023-01-06更新

高中数学三角函数的知识点太难了！为此我整理了一下。

常见三角函数值

DEG
RAD

各象限内三角函数值符号

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

同角三角函数关系

诱导公式

1.

对任意，有：

2.

3.

4.

5.

6.

绝招

有口诀云：

奇变偶不变，符号看象限。 象限怎么看？锐角看。

对于任意 ，形如 或 的正弦或余弦三角函数式满足：

• 如果 是偶数，即 ，则三角函数名不变。

• 如果 是奇数，即 ，则三角函数名改变。

即 变成 ， 变成 。

无论是否变三角函数名，原式括号内的东西都会变为 ，即刚才这一步操作去掉了括号内的 。

接下来，将 当成第一象限内的正角，无论题干说 是第几象限角，统一将其看做第一象限角。根据各象限内 或 的符号确定最终答案的符号。注意： 此处确定的符号是化简前式子的符号。

例子

化简

这个例子不形如，所以我们需要通过诱导公式3.，将其变成： 然后对于式，它形如，其中，是奇数，所以改变三角函数名，不确定整个式子前的符号： 在这个式子中我们没有确定前的符号，所以接下来我们将确定。

此时化简前式子是式而不是式，因为式并不形如而式形如。

观察式，假设是第一象限角，则是第四象限角，根据 各象限内三角函数值符号 ，在第四象限内角的正弦值小于0，所以应在式的前的符号取负号，即为：

三角恒等变换

这是三角函数章节的最难之处！

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

在这里我将不使用课本给出的推导公式技巧，而是一股脑全部给出，所以接好！

正弦

余弦

来自程哥的口诀：

差的余弦——ココ加ササ

正切

（二）倍角公式

令上述6个公式中的等于，我们可以得到：

对于，如果根据将其变形，可得：

那么，根据这两个变形后的式子，可以推出两个降次升角公式，只需简单地进行变形：

这两个公式就是降次升角公式。如你所见，从等号左边向右边运用公式的时候，三角函数的次数降了而角的大小翻倍了。对于这个公式只需要记住一个口诀：

正减余加

相信你能知道这是什么意思。

此外，正弦和余弦的倍角公式还可以用正切函数表示：

可能你已经发现了，上述这两个公式相除就能得到公式，所以希望你记得住！

到这里，你应该可以完全记住倍角公式和它们的简单推导了。千万别忘记，因为我们即将进入最难（难绷）的一节——

《简单》的三角恒等变换

这可能是高一数学听着最迷糊的一个课时，公式量很大！

刚刚我们认识了降次升角公式，现在我们再将其进行拓展。首先，将和都缩小至原来的一半，同时可以将正弦版本和余弦版本相除得到正切版本的降次升角公式，再将两边同时开方：

这些公式按照课本称作半角公式，符号由所在象限决定。

注意到，正减余加的口诀在这里仍然适用！现在知道记什么了吧

哦对了，关于正减余加的口诀，我单独写了一篇，可以看看：背会一个口诀竟然能记住正余弦函数这么多知识点！

我还必须介绍另外几个正切函数的半角公式：

辅助角公式

听起来可能很迷糊，但是辅助角公式做的事很简单：就是把形如的式子（注意是同角三角函数）转化为的形式。转化为后者之后就可以运用诱导公式或者下一节(?)中分析的结论来解题了。

辅助角公式：

好吧，我承认，这样看起来有点抽象，所以让我们实际感受一下：

你可以自己试着推导一下，例如上面第二个式子。

推导过程

推导：

写在后面

主要就写到这里吧。本文一开始是想成为自己的三角函数笔记库，然后发现可能别人也有这个记公式的需求就搬到了网页里。但是随着学习的深入现在这些也越发熟练，所以我觉得也不需要在这里继续写下去了。

写本文的时候挑战最大的就是编辑的各种公式然后自己排版，希望这也是我积累的一部分吧！